miércoles, 9 de diciembre de 2015

Números Reales

Números Reales

En matemáticas,el conjunto de los números reales (denotado por ℝ) incluye tanto a los números racionales (positivos, negativos y el cero) como a los números irracionales; y en otro enfoque, trascendentes y algebraicos. Los irracionales y los trascendentes (1970) no se pueden expresar mediante una fracción de dos enteros con denominador no nulo; tienen infinitas cifras decimales aperiódicas, tales como: √5, π, el número real log2, cuya trascendencia fue enunciada por Euler en el siglo XVIII.

 Los números reales pueden ser descritos y construidos de varias formas, algunas simples aunque carentes del rigor necesario para los propósitos formales de matemáticas y otras más complejas pero con el rigor necesario para el trabajo matemático formal.

 Durante los siglos XVI y XVII el cálculo avanzó mucho aunque carecía de una base rigurosa, puesto que en el momento prescindían del rigor y fundamento lógico, tan exigente en los enfoques teóricos de la actualidad, y se usaban expresiones como «pequeño», «límite», «se acerca» sin una definición precisa. Esto llevó a una serie de paradojas y problemas lógicos que hicieron evidente la necesidad de crear una base rigurosa para la matemática, la cual consistió de definiciones formales y rigurosas (aunque ciertamente técnicas) del concepto de número real. En una sección posterior se describirán dos de las definiciones precisas más usuales actualmente: clases de equivalencia de sucesiones de Cauchy de números racionales y cortaduras de Dedekind.

Notación

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Los números reales se expresan con decimales que tienen una secuencia infinita de dígitos a la derecha de la coma decimal, como por ejemplo 324,8232. Frecuentemente también se subrepresentan con tres puntos consecutivos al final (324,823211247…), lo que significaría que aún faltan más dígitos decimales, pero que se consideran sin importancia.
Las medidas en las ciencias físicas son siempre una aproximación a un número real. No sólo es más conciso escribirlos con forma de fracción decimal (es decir, números racionales que pueden ser escritos como proporciones, con un denominador exacto) sino que, en cualquier caso, cunde íntegramente el concepto y significado del número real. En el análisis matemático los números reales son objeto principal de estudio. Puede decirse que los números reales son la herramienta de trabajo de las matemáticas de la continuidad, como el cálculo y el análisis matemático, mientras que los números enteros lo son de las matemáticas discretas, en las que está ausente la continuidad.
Se dice que un número real es recursivo si sus dígitos se pueden expresar por un algoritmo recursivo. Un número no-recursivo es aquél que es imposible de especificar explícitamente. Aun así, la escuela rusa de constructivismo supone que todos los números reales son recursivos.
Los ordenadores sólo pueden aproximarse a los números reales por números racionales; de todas maneras, algunos programas de ordenador pueden tratar un número real de manera exacta usando su definición algebraica (por ejemplo, "\sqrt{2}") en vez de su respectiva aproximación decimal.
Los matemáticos usan el símbolo \mathbb R (o, de otra forma, \mathbf{R}, la letra "R" en negrita) para representar el conjunto de todos los números reales.
La notación matemática \mathbb R^n se refiere a un espacio de n dimensiones de los números reales; por ejemplo, un valor \mathbb R^3 consiste de tres números reales y determina un lugar en un espacio de tres dimensiones.
En matemática, la palabra "real" se usa como adjetivo, con el significado de que el campo subyacente es el campo de los números reales. Por ejemplo, matriz real,función real, y Álgebra de Lie real.

Tipos de números reales

Racionales e irracionales

Un número real puede ser un número racional o un número irracional. Los números racionales son aquellos que pueden expresarse como el cociente de dos números enteros, tal como 3/4, -21/3, 5, 0, 1/2, mientras que los irracionales son todos los demás. Los números racionales también pueden describirse como aquellos cuya representación decimal es eventualmente periódica, mientras que los irracionales tienen una expansión decimal aperiódica:
Ejemplos
1/4 = 0,250000... Es un número racional puesto que es periódico a partir del tercer número decimal.
5/7 = 0,7142857142857142857.... Es racional y tiene un período de longitud 6 (repite 714285).
\frac{\sqrt[3]{7}+1}{2}=1\text{,}456465591386194\ldots es irracional y su expansión decimal es aperiódica.
El conjunto de los números racionales se designa mediante \mathbb{Q}.

Algebraicos y transcendentes

Otra forma de clasificar los números reales es en algebraicos y trascendentes. Un número es algebraico si existe un polinomio de coeficientes racionales que lo tiene por raíz y es trascendente en caso contrario. Obviamente, todos los números racionales son algebraicos: si \frac{p}{q} es un número racional, con p entero y q natural, entonces es raíz de la ecuación qx=p. Sin embargo, no todos los números algebraicos son racionales.
Ejemplos
El número \frac{\sqrt[3]{7}+1}{2} es algebraico puesto que es una raíz del polinomio 4x^3-6x^2+3x-4
Un ejemplo de número trascendente es \ln3=1\text{,}09861228866811\ldots
El conjunto de los números algebraicos se designa mediante \mathbb{A}.

Computables e irreductibles

Un número real se dice computable si tiene una complejidad de Kolmogórov finita, es decir, si puede escribirse un programa informático de extensión finita que genere los dígitos de dicho número. Si un número real no es computable se dice irreductible. Una definición de número irreductible es:
El conjunto de números reales computables se designa por \R_{comp}. Obviamente los racionales y los algebraicos son números computables. De hecho se tiene la siguiente inclusión:
\mathbb{Q} \subset \mathbb{A} \subset \mathbb{R}_{comp}
Además se tiene que todos estos conjuntos son numerables:
\text{card}|\mathbb{Q}| = \text{card}|\mathbb{A}| = \text{card}|\mathbb{R}_{comp}| = \aleph_0
Esto implica que el conjunto de todos los números computables es un conjunto de medida nula.

Construcciones de los números reales

Caracterización axiomática

Fue propuesto por el matemático alemán David Hilbert. En textos actuales de cálculo y análisis matemático aparecen enunciados equivalentes al de Hilbert.
Artículo principal: Axiomas de los números reales
Existen diferentes formas de construir el conjunto de los números reales a partir de axiomas, siendo la caracterización más común, el conocido como método directoque introduce el sistema (ℝ, +,., ≤), donde los elementos de ℝ se llaman números reales, + y. son dos operaciones en ℝ, ≤ es una relación de orden en ℝ. Se presenta una variante axiomática, mediante las siguientes tres propiedades:
Un conjunto (K,+,\cdot, \leq) es el conjunto de los números reales si satisface las siguientes tres condiciones:
  1. (K,+,\cdot) es un campo.
  2. (K,\leq) es un conjunto totalmente ordenado y el orden es compatible con las operaciones del campo:
    Si a\le b entonces a+c\le b+c;
    Si a\le b y 0\le c  entonces ac \le bc.
  3. El conjunto K es completo: satisface el axioma del supremo:
    Todo conjunto no vacío y acotado superiormente tiene un supremo.
  • El axioma del supremo es una variante del Principio de Weirstrass" que dice que toda sucesión de números reales acotada superiormente tiene supremo
Las primeras dos condiciones definen el concepto de campo ordenado, mientras que la tercera propiedad es de naturaleza topológica y es la que diferencia al conjunto de los números reales de todos los demás campos ordenados. Hay que hacer notar que, en principio pueden existir diferentes conjuntos que satisfagan las mismas condiciones y que podrían ser diferentes al conjunto de los números reales, pero un teorema establece que si eso sucediera, ambas estructuras serían esencialmente la misma.
Cualquier campo ordenado que cumpla las tres propiedades mencionadas es isomorfo al conjunto de los números reales.
En vista de lo anterior podemos hablar de el conjunto de los números reales (y no de un conjunto de números reales) y estableciendo su unicidad se puede usar el símbolo ℝ para representarlo.
Al enunciar la tercera propiedad en ocasiones se especifica que ℝ es completo en el sentido de Dedekind, pues existen otros axiomas que se pueden usar y que, asumiendo las primeras dos condiciones, todos son lógicamente equivalentes. Algunos de estos son:
  • (Cauchy) El conjunto K cumple que cualquier sucesión de Cauchy es convergente.
  • (Bolzano-Weierstrass) El conjunto K cumple que cualquier sucesión acotada tiene una subsucesión convergente.
  • Cualquier sucesión decreciente de intervalos cerrados I_1\supseteq I_2\supseteq I_3\supseteq \cdots tiene intersección no vacía.
Cada una de las primeras dos propiedades mencionadas al inicio de la sección corresponden a su vez a otra serie de axiomas, de modo que si se hace un desglose, puede caracterizarse el conjunto de los números reales como un conjunto que satisfaga la siguiente lista de axiomas.
  1. Si x,y\in\mathbb{R}, entonces x+y\in\mathbb{R} (Cerradura en la suma)
  2. Si x,y\in\mathbb{R}, entonces x+y=y+x\, (Conmutatividad en la suma)
  3. Si x,y,z\in\mathbb{R}, entonces (x+y)+z=x+(y+z)\, (Asociatividad en la suma)
  4. Existe 0\in\mathbb{R} de manera que x+0=x\, para todo x\in\mathbb{R} (Neutro aditivo)
  5. Para cada x\in\mathbb{R} existe un elemento -x\in\mathbb{R} tal que -x+x=0\, (Inverso aditivo)
  6. Si x,y\in\mathbb{R}, entonces xy\in\mathbb{R} (Cerradura en la multiplicación)
  7. Si x,y\in\mathbb{R}, entonces xy=yx\, (Conmutatividad en la multiplicación)
  8. Si x,y,z\in\mathbb{R}, entonces (xy)z=x(yz)\, (Asociatividad en la multiplicación)
  9. Existe 1\in\mathbb{R} de manera que x\cdot{1}=1\cdot{x}=x\, para cualquier x\in\mathbb{R} (Neutro multiplicativo)
  10. Para cada x\neq 0,x\in\mathbb{R} existe un elemento x^{-1}\in\mathbb{R} tal que x^{-1}x=1\, (Inverso multiplicativo)
  11. Si x,y,z\in\mathbb{R}, entonces x(y+z)=xy+xz\, (Distributividad de la multiplicación en la suma)
  12. Si x,y\in\mathbb{R}, entonces se cumple sólo una de estas: (Tricotomía)
    • x<y\,
    • y<x\,
    • x=y\,
  13. Si x,y,z\in\mathbb{R}, x<y\, y y<z\, entonces x<z\, (Transitividad)
  14. Si x,y,z\in\mathbb{R} y x<y\,, entonces x+z<y+z\, (Monotonía en la suma)
  15. Si x,y,z\in\mathbb{R}, x<y\, y  0<z \,, entonces xz<yz\, (Monotonía en la multiplicación)
  16. Si  E \subset \mathbb{R}  es un conjunto no vacío acotado superiormente en  \mathbb{R}, entonces  E \,  tiene supremo en  \mathbb{R} (Axioma del supremo)
Los axiomas del 1 al 15 corresponden a la estructura más general de cuerpo ordenado. El último axioma es el que distingue  \mathbb{R} de otros cuerpos ordenados como  \mathbb{Q}. Debe señalarse que los axiomas 1 a 15 no constituyen una teoría categórica ya que puede demostrarse que admiten al menos un modelo no estándar diferente de los números reales, que es precisamente el modelo en el que se basa la construcción de los números hiperreales

Construcción por números decimales

Consideramos los números decimales como los conocemos intuitivamente. Sabemos que \pi=3,1415926535897932384626\dots, es decir, el número π se expresa como el número entero 3 y una secuencia infinita de dígitos 1, 4, 1, 5, 9, 2, etc.
Un número decimal se expresa entonces como x.d_1d_2d_3d_4\dots donde x es un número entero y cada d_i es un elemento del conjunto \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}. Además, consideramos que no existen las colas de 9.
Al conjunto de todos los números decimales donde x es un número entero positivo se le denota por \mathbb{R}^+ y se le llama el conjunto de los números reales positivos.
Al conjunto de todos los números decimales donde x es un número entero negativo se le denota por \mathbb{R}^- y se le llama el conjunto de los números reales negativos.
Al número decimal 0,00000\dots se le llama cero.
Al conjunto \mathbb{R}^+\cup\mathbb{R}^-\cup\{0,00000\dots\} se le denota por \mathbb{R} y se le llama conjunto de números reales.
Se define la relación de orden total de los números decimales como
  1. 0>x\, para todo x\in\mathbb{R}^-
  2. x>y\, siempre que x\in\mathbb{R}^+ y y\in\mathbb{R}^-
  3. x>0\, para todo x\in\mathbb{R}^+
  4. Dados dos números reales cualesquiera x=a.a_1a_2a_3a_4\dots y y=b.b_1b_2b_3b_4\dots, x>y\, en cualquiera de los casos siguientes:
    • a>b\,
    • a=b\, y además existe n\in\mathbb{N} tal que a_i=b_i\, para todo 1\leq i<n y a_n > b_n\,

Construcción por cortaduras de Dedekind

Hay valores que no se pueden expresar como números racionales, tal es el caso de \sqrt 2. Sin embargo es claro que se puede aproximar \sqrt 2 con números racionales tanto como se desee. Podemos entonces partir al conjunto de los números racionales en dos subconjuntos A y B de manera que en el conjunto A se encuentran todos los números racionales x < \sqrt 2 y en B todos los números racionales tales que x > \sqrt 2.
Una cortadura de dedekind es un par ordenado (A,B) que hace precisamente esto. Conceptualmente, la cortadura es el "espacio" que hay entre A y B. 

De esta manera es posible definir a \sqrt 2 como (A,B) tal que A = \{x\in\mathbb{Q}:x^2<2\} y B=\{x\in\mathbb{Q}:x^2>2\}.

Es posible demostrar que B queda unívocamente definido por A, de esta manera la cortadura (A,B) se reduce simplemente a A.

También es demostrable que el conjunto de todas las cortaduras cumple con los axiomas de los números reales, de esta manera \mathbb{R} es el conjunto de todas las cortaduras de Dedekind. Esta es la primera construcción formal de los números reales bajo la teoría de conjuntos.

Construcción por sucesiones de Cauchy

Las sucesiones de Cauchy retoman la idea de aproximar con números racionales un número real. Tómese por ejemplo, la igualdad.
\sum_{n=0}^{\infty } \cfrac{4(-1)^n}{2n+1} = \frac{4}{1} - \frac{4}{3} + \frac{4}{5} - \frac{4}{7} + \frac{4}{9} - \dots = \pi
Es claro que esta sumatoria opera sólo con los números racionales de la forma:
\cfrac{4(-1)^n}{2\,n+1}
sin embargo el resultado final es el número irracional \pi\,. Cada vez que se añade un término, la expresión se aproxima más y más a \pi\,.
Las sucesiones de Cauchy generalizan este concepto para definir a los números reales. Primero se define que una sucesión de números racionales es una función se denota simplemente por x_i.
Una sucesión de Cauchy es una sucesión de números racionales donde sus elementos cada vez son menos diferentes. Más formalmente, se define una sucesión de Cauchy como una sucesión de números racionales tales que para todo \epsilon\in\mathbb Q^+ existe un n_0\in\mathbb N tal que para todo m,n\geq{n_0} se cumple |x_m-x_n|<\epsilon\,.
De esta manera es posible definir al número real \pi como la sucesión de números racionales:
x_i = \sum_{n=0}^i \cfrac{4(-1)^n}{2n+1}

Definición de los números reales

Sea Γ el conjunto de las sucesiones de Cauchy en Q. Sea la relación ρ siguiente, definida entre las sucesiones de Cauchy de Q, (xn) y (yn):
  • (xn)ρ(yn) s. s.s. lim (xn-yn) = 0 cuando n → ∞
  • Esta relación ρ es una relación de equivalencia en el conjunto de sucesiones de Cauchy con elementos del conjunto Q de los números racionales.
  • Llamamos conjunto de los números reales al conjunto cociente R = Γ/ρ.
  • En seguida se define sobre R una ley de grupo aditivo, una realación de orden y una topología. Se demuestra que Q ( conjunto de los racionales) es isomorfo a una parte de R.

Propiedad Arquimediana (Axioma de Arquímedes)

Sean a > 0 y b números reales cualesquiera, existe un número natural n tal que na > b; esto expresa a su vez que la sucesión b/n tiende a cero.

Operaciones con números reales

Con números reales pueden realizarse todo tipo de operaciones básicas con diversas excepciones importantes:
  1. No existen raíces de orden par (cuadradas, cuartas, sextas, etc.) de números negativos en números reales, (aunque sí existen en el conjunto de los números complejos donde dichas operaciones sí están definidas).
  2. La división entre cero no está definida (pues cero no posee inverso multiplicativo, es decir, no existe número x tal que 0·x=1).
  3. No se puede hallar el logaritmo de un número real negativo, cualquiera sea la base de logaritmos, un número positivo distinto de 1.

Estas restricciones tienen repercusiones en otras áreas de las matemáticas como el cálculo: existen asíntotas verticales en los lugares donde el denominador de una función racional tiende a cero, es decir, en aquellos valores de la variable en los que se presentaría una división entre cero, o no existe gráfica real en aquellos valores de la variable en que resulten números negativos para raíces de orden par, por mencionar un ejemplo de construcción de gráficas en geometría analítica.


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