Números Naturales

En matemáticas, un número natural (designado por ℕ) es cualquiera de los números que se usan para contar los elementos de un conjunto como también en operaciones elementales de cálculo.

Por definición convencional se dirá que cualquier miembro del siguiente conjunto, ℕ = {0, 1, 2, 3, 4, …} es un número natural, que en este caso empieza del cero y prosigue hasta el infinito. De dos números vecinos cualesquiera, el que se encuentra a la derecha se llama siguiente o sucesivo 1 . El conjunto de todos los números naturales iguales o menores que cierto número natural k  se llama segmento de una sucesión natural y se denota |1,k| 

Operaciones con los números naturales

Las operaciones matemáticas que se definen en el conjunto de los números naturales son la suma y la multiplicación.

La suma y la multiplicación de números naturales son operaciones conmutativas y asociativas, es decir:

El orden de los números no altera el resultado (propiedad conmutativa), a + b = b + a, y a × b = b × a.

Para sumar —o multiplicar— tres o más números naturales, no hace falta agrupar los números de una manera específica ya que (a + b) + c = a + (b + c) (propiedad asociativa). 

Esto es lo que da sentido a expresiones como a + b + c.

Al construir la operación de multiplicación de números naturales, se puede observar claramente que la adición o suma y la multiplicación son operaciones compatibles, pues la multiplicación sería una adición de cantidades iguales y gracias a esta compatibilidad se puede desarrollar la propiedad distributiva, que se expresa de la forma:

a × (b + c) = (a × b) + (a × c)

Aparte, estas dos operaciones cumplen con las propiedades de:

• Clausura de ambas operaciones para todos los números naturales a y b, ya que a + b y a × b son siempre números naturales. Existencia de elementos neutros para ambas operaciones, es decir, para cada número a, a + 0 = a y a × 1 = a.

• No existencia de divisores de cero para la operación de multiplicación: si a y b son números naturales tales que a × b = 0, entonces a = 0 o b = 0.

Propiedades de los números naturales

Los números naturales están totalmente ordenados. La relación de orden ≤ se puede redefinir así: a ≤ b si y solo si existe otro número natural c que cumple a + c = b. Este orden es compatible con todas las operaciones aritméticas puesto que si a, b y c son números naturales y a ≤ b, entonces se cumple:

a + c ≤ b + c

a × c ≤ b × c

Una propiedad importante del conjunto de los números naturales es que es un conjunto bien ordenado

Para cualquier elemento a de A existe b en A tal que a < b

En los números naturales existe el algoritmo de la división. Dados dos números naturales a y b, si b ≠ 0, podemos encontrar otros dos números naturales q y r, denominados cociente y resto respectivamente, tales que:

a = (b × q) + r y r < b

Los números q y r están unívocamente determinados por a y b.

Otras propiedades más complejas de los números naturales, como la distribución de los números primos por ejemplo, son estudiadas por la teoría de números.

Relación de orden

La relación sucesor le da una estructura de orden.

Conceptos globales y de estructura

Algebraicamente, el conjunto ℕ = {0, 1, 2, ... n, ...} es un semigrupo aditivo asociativo con elemento neutro 0 y semigrupo multiplicativo asociativo con elemento neutro 1.

Topológicamente, ℕ tiene la topología cofinita.

El cardinal de ℕ es menor que el cardinal de ℝ.

Sustracción o resta con números naturales

Asúmase que ℕ = {0, 1, 2, 3, ...} y sea H = {(m, n) / m, n ∈ ℕ; m ≥ n}, sea g una aplicación de H en ℕ, tal que g(m, n) = m - n = d ↔ m = d + n, donde m, n están en H y d está en ℕ. A la aplicación g de H sobre ℕ se llama sustracción o resta en ℕ. La diferencia d = m - n, solo es posible en el caso que m ≥ n.

Proposiciones

Si m - n = p, entonces m - p = n

Si m - n = p, entonces (m + r) - (n + r) = p

Para cualquier m ∈ ℕ, m - m = 0;

como m - 0 = m, 0 hace el papel de elemento neutro por la derecha.

La resta no es conmutativa ni asociativa.

Si se da m - n = p, existe una infinidad de números naturales m´ y n´ tal que m´ - n´ = p; 

de modo tal que en ℕ × ℕ la relación (m, n) ≈ (m´ ,n´) ↔ m + n´ = n + m´ define una relación de equivalencia, punto de partida para la construcción del ℤ de los números enteros.

Observación

Una operación en A definen algunos matemáticos como una aplicación de A × A en A. Si se acepta esto, la sustracción no es una operación en el conjunto de los naturales.

Si se define una aplicación en H, parte propia de A × A, en A tal aplicación se llama operación parcialmente definida en A. Admitido lo anterior, la sustracción es una operación parcialmente definida en en los números naturales.

Topologización de N

En el conjunto ℕ de los naturales cabe la topología discreta y la cofinita, también alguna topología de orden

Principio de permanencia

Es un teorema vinculado al sistema de los números naturales y sus ampliaciones aplicativas. Esta proposición expresa que las propiedades de cálculo usuales para los números naturales, también son legítimas para los números estructurados mediante operaciones inversas. Como ejemplo: según el principio de permanencia, las propiedades de la potenciación siguen válidas aun en el caso de números con exponentes fraccionarios.

(ab)5 = a5b5 ⇒ (ab)2/3 = a2/3 b2/3 entre otras leyes de la potenciación.