Geometría

Geometría                                                  

La geometría (del latín geometrĭa, y este del griego γεωμετρία de γεω gueo, ‘tierra’, y μετρία metría, ‘medida’) es una rama de la matemática que se ocupa del estudio de las propiedades de las figuras en el plano o el espacio, incluyendo: puntos, rectas, planos, politopos (que incluyen paralelas, perpendiculares, curvas, superficies, polígonos, poliedros, etc.).

Es la base teórica de la geometría descriptiva o del dibujo técnico. También da fundamento a instrumentos como el compás, el teodolito, el pantógrafo o el sistema de posicionamiento global (en especial cuando se la considera en combinación con el análisis matemático y sobre todo con las ecuaciones diferenciales).

Sus orígenes se remontan a la solución de problemas concretos relativos a medidas. Tiene su aplicación práctica en física aplicada, mecánica, arquitectura, geografía, cartografía, astronomía, náutica, topografía, balística etc. Y es útil en la preparación de diseños e incluso en la elaboración de artesanía.

Axiomas, definiciones y teoremas

Un teorema descubierto y probado por Arquímedes: una esfera tiene ²/₃ del volumen de su cilindrocircunscrito.

La geometría se propone ir más allá de lo alcanzado por la intuición. Por ello, es necesario un método riguroso, sin errores; para conseguirlo se han utilizado históricamente los sistemas axiomáticos. El primer sistema axiomático lo establece Euclides, aunque era incompleto. David Hilbert propuso a principios del siglo XX otro sistema axiomático, éste ya completo. Como en todo sistema formal, las definiciones, no sólo pretenden describir las propiedades de los objetos, o sus relaciones. Cuando se axiomatiza algo, los objetos se convierten en entes abstractos ideales y sus relaciones se denominan modelos.

Esto significa que las palabras "punto", "recta" y "plano" deben perder todo significado material. Cualquier conjunto de objetos que verifique las definiciones y los axiomas cumplirá también todos los teoremas de la geometría en cuestión, y sus relaciones serán virtualmente idénticas al del modelo tradicional.

Axiomas

La geometría esférica es un ejemplo de geometría no euclidiana.

En geometría euclidiana, los axiomas y postulados son proposiciones que relacionan conceptos, definidos en función del punto, la recta y el plano. Euclides planteó cinco postulados y fue el quinto (el postulado de paralelismo) el que siglos después –cuando muchos geómetras lo cuestionaron al analizarlo– originará nuevas geometrías: la elíptica (geometría de Riemann) o la hiperbólica de Nikolái Lobachevski.

En geometría analítica, los axiomas se definen en función de ecuaciones de puntos, basándose en el análisis matemático y el álgebra. Adquiere otro nuevo sentido hablar de puntos, rectas o planos. f(x) puede definir cualquier función, llámese recta, circunferencia, plano, etc.

Topología y geometría

El nudo de trébol.

El campo de la topología, que tuvo un gran desarrollo en el siglo XX, es en sentido técnico un tipo de geometría transformacional, en que las transformaciones que preservan las propiedades de las figuras son los homeomorfismos (por ejemplo, esto difiere de la geometría métrica, en que las transformaciones que no alteran las propiedades de las figuras son las isometrías). Esto ha sido frecuentemente expreso en la forma del dicho "la topología es la geometría de la página de goma".

Tipos de geometría

Desde los antiguos griegos, ha existido numerosas contribuciones a la geometría, particularmente a partir del siglo XVIII. Eso ha hecho que proliferen numerosas subramas de la geometría con enfoques muy diferentes. Para clasificar los diferentes desarrollos de la Geometría moderna se pueden recurrir a diferentes enfoques:

Geometrías según el tipo de espacio

Los antiguos griegos un único tipo de geometría a saber geometría euclídea, hábilmente codificada en los Elementos de Euclides y debido a una escuela alejandrina encabezada por Euclides. Este tipo de geometría se basó en un estilo formal de deducciones a partir de cinco postulados básicos. Los cuatro primeros fueron ampliamente aceptados y Euclides los usó extensivamente, sin embargo, el quinto postulado fue menos usado y con posterioridad diversos autores trataron de demostrarlo a partir de los demás, la imposibilidad de dicha deducción llevó a constatar que junto con la geometría euclídea existían otros tipos de geometrías en que el quinto postulado de Euclídes no participaba. De acuerdo a las moficiaciones introducidas en ese quinto postulado se llega a familias diferentes de geometrías o espacios geométricos diferentes entre ellos:

• La geometría absoluta, que es el conjunto de hechos geométricos derivables a partir únicamente de los primeros cuatro postulados de Euclides.
• La geometría euclídea, que es la geometría particular que se obtiene de aceptar como axioma también el quinto postulado. Los griegos consideraron dos variantes de geometría euclídea:
  • Geometría euclídea del plano
  • Geometría euclídea del espacio
• La geometría clásica es una recopilación de resultados para las geometrías euclídeas.

A partir del siglo XIX se llegó a la conclusión de que podían definirse geometrías no euclídeas entre ellas:

• La geometría elíptica
• La geometría esférica
• La geometría finita
• La geometría hiperbólica
• La geometría riemanniana

Geometría asociadas a transformaciones

En el siglo XIX se constató que otra forma de enfocar los conceptos geométricos era estudiar la invarianza de ciertas propiedades bajo diferentes tipos de transformaciones matemáticas, así se clasificaron diversas propiedades geométricas en grupos y se plantearon subdisciplinas consistentes en ver cuales eran las propiedades invariantes bajo tipos particulares de transformaciones, así aparecieron los siguientes tipos de enfoques geométricos:

• Geometría afín
• Geometría conforme
• Geometría convexa
• Geometría discreta
• Geometría de incidencia
• Geometría ordenada
• Geometría proyectiva

Geometría según el tipo de representación

Si bien Euclides básicamente se restingió a conceptos geométricos representables mediante figuras (puntos, líneas, círculos, etc.) el desarrollo de otras ramas de las matemáticas no conectadas inicialmente con la geometría propiamente dicha, llevó a poder aplicar las herramientas de otras ramas a problemas propiamente geométricos así nacieron:

• La geometría algebraica
• La geometría analítica
• La geometría descriptiva
• La Topología geométrica
• La geometría diferencial que engloba como ramas a:
  • Geometría diferencial discreta
  • La geometría de curvas y superficies
    • La Geometría diferencial de curvas
    • La Geometría diferencial de superficies
  • La Geometría diferencial de hipersuperficies
  • Geometría diferencial de variedades
  • La geometría de Riemann
• La Geometría fractal
• Geometría sintética

Aplicaciones geométricas

Además de las subramas propiamente dichas modernamente han surgido numerosas aplicaciones prácticas de la geometría entre ellas:

• Geometría computacional
• Geometría constructiva de sólidos
• Geometría molecular