Números Racionales

Número racional es todo número que puede representarse como el cociente de dos números enteros o, más precisamente, un entero y un natural positivo; es decir, una fracción común a/b con numerador a  y denominador b distinto de cero. El término «racional» alude a una fracción o parte de un todo. El conjunto de los números racionales se denota por Q que deriva de «cociente» (Quotient en varios idiomas europeos). Este conjunto de números incluye a los números enteros, y es un subconjunto de los números reales.

La escritura decimal de un número racional es, o bien un número decimal finito, o bien periódico. Esto es cierto no solo para números escritos en base 10 (sistema decimal), también lo es en base binaria, hexadecimal o cualquier otra base entera. Recíprocamente, todo número que admite una expansión finita o periódica (en cualquier base entera), es un número racional.

Un número real que no es racional, se llama número irracional; la expresión decimal de los números irracionales, a diferencia de los racionales, es infinita aperiódica.

En sentido estricto, número racional es el conjunto de todas las fracciones equivalentes a una dada; de todas ellas, se toma como representante canónico de dicho número racional a la fracción irreducible. Las fracciones equivalentes entre sí –número racional– son una clase de equivalencia, resultado de la aplicación de una relación de equivalencia sobre Z.

Construcción formal

Véanse también: Dominio de integridad y Cuerpo de cocientes.
El conjunto de los números racionales puede construirse a partir del conjunto de fracciones cuyo numerador y cuyo denominador son números enteros. El conjunto de los números racionales no es directamente identificable con el conjunto de fracciones, porque a veces un número racional puede representarse por más de una fracción, por ejemplo:

2,5 = 25/10 = 10/4 = 5/2

Para poder definir los números racionales debe definirse cuando dos fracciones diferentes son equivalentes y por tanto representan el mismo número racional. Formalmente cada número racional puede representarse como la clase de equivalencia de un par ordenado de enteros, con la siguiente relación de equivalencia:

Demostración

Diremos que (a,b) R (c,d) s.s.s. ad = bc; en este caso R es una relación de equivalencia en el conjunto H. De tal modo que la relación de equivalencia R determina en H una partición y a cada elemento del conjunto cociente H/R se llama número racional; en este contexto, un número racional es una clase de equivalencia.

Representante canónico se llama al par (a,b)si el m.c.d (a,b)= 1. cualquier otro par se usa en el caso de operaciones. Al sumar 1/2 con 2/3 se les reemplaza respectivamente por 3/6 y 4/6. 3

Aritmética de los números racionales

Propiedades algebraicas

Suma

Se define la suma (a/b) + (c/d) = (ad+bc) / (bd)
que es:

Asociativa. (a/b + c/d) + (e/f) = a/b + c/d + e/f
Conmutativa. a/b+ c/d = c/d + a/b

Existe el elemento neutro:  0/H tal que a/b + 0/H = a/b para cualquier a/b . Se nombra cero y se denota 0.
Elemento opuesto. Para cualquier número racional a/b  existe -a/b , llamado elemento opuesto, tal que a/b + (-a/b)= 0

Diferencia. La ecuación a/b + x = c/d  tiene como solución x = c/d +(-a/b)

La diferencia (c/d) -  (a/b)  = (c/d) - (a/b).

La operación que a todo par de números racionales, le hace corresponder su diferencia se llama resta y se la considera operación inversa de la suma.

Multiplicación

Se define la multiplicación a/b + c/d = (ad+bc) / bd
Asociativa

Conmutativa

Existe elemento neutro representado por p/p= 1 , distinto de 0, tal que a/b x 1 = a/b
Inverso multiplicativo. Para todo número racional q, distinto de 0, existe q-1,llamado inverso multiplicativo tal que  p(-1) = 1
Se define el cociente de r entre s distinto de 0, al producto R x S(-1).
En otra notación, (a/b)/(c/d)= a/b x d/c  .

A la operación que a todo par de racionales, divisor distinto de cero, le hace corresponder su cociente, se llama división, que no es una operación totalmente definida; pero se asume que es una operación inversa de la multiplcación que resuelve la ecuación px = s , p no es 0.

A las operaciones de suma, resta, multiplicación y división se llaman operaciones racionales

Relaciones de equivalencia y orden

• Se define la equivalencia a/b = c/d cuando  ad = bc 
• Los racionales positivos son todos los a/b tales que  ab > 0  
• Los racionales negativos son todos los a/b tales que  ab < 0 
• El orden se define así: Si b>0 y d>0 entonces a/b>c/d cuando  ad - bc > 0 

Equivalencias notables

Todo número entero  p \,  se puede escribir como fracción p/1

ca/cb= a/b con c no es 0  y b no es 0 

a/c+ b/c= (a+b)/c

-a/b=a/-b=-(a/b)

0/a=0 con a no es 0 

a/a=1 con a no es 0 .

Propiedades

• El conjunto \Q, con las propiedades de adición y multiplicación definidas más arriba, conforma un cuerpo conmutativo: el cuerpo de cocientes de los enteros \Z.
• Los racionales son el menor cuerpo con característica nula.
• La clausura algebraica de \Q, es el conjunto de los números algebraicos.
• El conjunto de los números racionales es numerable, es decir que existe una biyección entre \N y \Q (tienen la misma cantidad de elementos). El conjunto de los número reales no es numerable (la parte no-denombrable de los reales, la constituyen los números irracionales).
• Propiedad arquimediana: el conjunto \Q es denso en \R por construcción misma de \R; es decir, para cualquier pareja de números reales existe otro número racional situado entre ellos.
• Los racionales forman un dominio de factorización única ya que todo racional diferente de cero puede descomponerse en la forma: son números enteros primos, (siendo algunos de ellos negativos si q no es entero) y u\in\{1,-1\}.

Escritura decimal

Representación racional de los números decimales
Todo número real admite una representación decimal ilimitada, esta representación es única si se excluyen secuencias infinitas de 9 (como por ejemplo el 0,9 periódico). Todo número decimal finito o periódico puede expresarse como número racional de la siguiente manera:

Decimales exactos o finitos: se escribe en el numerador la expresión decimal sin la coma (como un número entero), y en el denominador un uno seguido de tantos ceros como cifras decimales.

Decimales periódicos puros: la fracción correspondiente tiene como numerador la diferencia entre el número escrito sin la coma, y la parte anterior al periodo; y como denominador, tantos "9" como cifras tiene el periodo.

Decimales periódicos mixtos: tendrá como numerador la diferencia entre a y b, donde a es el número escrito sin la coma, y b es el número sin la parte decimal periódica, escritos ambos como números enteros. El denominador tendrá tantos "9" como cifras tiene el periodo y otros tantos "0" como cifras tenga el anteperíodo.

Desarrollo decimal de los números racionales
El valor decimal de un número racional, es simplemente el resultado de dividir el numerador entre el denominador. Los números racionales se caracterizan por tener una escritura decimal que solo puede ser de tres tipos:

• Exacta: la parte decimal tiene un número finito de cifras. Al no ser significativos, los ceros a la derecha del separador decimal pueden omitirse, lo que da por resultado una expresión «finita» o «terminal».
• Periódica pura: toda la parte decimal se repite indefinidamente.
• Periódica mixta: no toda la parte decimal se repite. 

Nota: lo mismo se aplica al desarrollo decimal de un número racional en bases distintas de diez.

Número racional en otras bases

En un sistema de numeración posicional de base racional, las fracciones irreducibles cuyo denominador contiene factores primos distintos de aquellos que factorizan la base, no tienen representación finita.

Propiedades topológicas del conjunto de los números racionales
Forman un subconjunto denso de los números reales: todo número real tiene racionales arbitrariamente cerca.

• Poseen una expansión finita como fracción continua regular.
• Con la topología del orden, forman un anillo topológico, o de grupo parcialmente ordenado; presentan una topología inducida; también forman un espacio métrico con la métrica  d(x,y) = |x -y|.
• Los racionales son un ejemplo de espacio que no es localmente compacto.
• Se caracterizan topológicamente por ser el único espacio metrizable numerable sin puntos aislados (también es totalmente discontinuo). Los números racionales no forman un espacio métrico completo.
• Sea el conjunto H de los números racionales en el intervalo cerrado [0, 1], entonces H no tiene puntos aislados, todo punto de H es punto de acumulación, los restantes punto de ℝ son exteriores a H. Entre los puntos de acumulación de H algunos están en él y otros no. Cada punto de H es un punto frontera, pues su vecindad contiene puntos de H y de su complemento. H no tiene puntos interiores, ninguna vecindad de un elemento de H está contenida en H; no es un conjunto conexo ya que todo [m,n] con elementos m,n de H no es parte de H.9

Propiedades algebraicas

ℚ con la adición forma un grupo conmutativo
El conjunto  Q^* de los números racionales no nulos, con la multiplicación, forma un grupo multiplicativo abeliano
<ℚ, +, *> es un cuerpo conmutativo
En ℚ hay dos operaciones asociativas y conmutativas: adición y multiplicación y dos operaciones no conmutativas ni asociativas: la resta y la división, con elementos identidades por la derecha.
En ℚ, siempre es posible resolver una ecuación ax = b, donde a no es 0
Históricamente, los números fraccionarios propios antecedieron a los negativos y a los imaginarios 10
Sea H = {0, 1, -1} con la adición y multiplicación usuales posee la estructura de cuerpo.
Sea el conjunto P = {2n / n es un entero}, <P, * > constituye un grupo múltiplicativo, donde * es el producto usual de números racionales.
El conjunto de los números racionales de la forma  p/1  donde p es un número entero, se denomina el conjunto de los números racionales enteros.