TICS 2015 Blog: diciembre 2015

miércoles, 16 de diciembre de 2015

Matemáticas

Las matemáticas son la ciencia formal que, partiendo de proposiciones que se consideran evidentes y se acepta sin conseguir demostración previa y siguiendo un razonamiento lógico, estudia las propiedades y relaciones entre entidades abstractas como números, figuras geométricas o símbolos.

La palabra «matemática» viene del griego antiguo μάθημα (máthēma), que quiere decir «campo de estudio o instrucción». El significado se refiere a las áreas del conocimiento que sólo pueden entenderse tras haber sido instruido en las mismas (astronomía, aritmética). Aunque el término ya era usado por los pitagóricos (matematikoi) en el siglo VI a. C., alcanzó su significado más técnico y reducido de «estudio matemático» en los tiempos de Aristóteles (siglo IV a. C.). Su adjetivo es μαθηματικός (mathēmatikós), «relacionado con el aprendizaje», lo cual, de manera similar, vino a significar «matemático». En particular significa «el arte matemática».

Matemáticas puras

Cantidad

Estructura

Combinatoria
Teoría de números
Teoría de grupos
Teoría de grafos
Teoría del orden
Álgebra

Espacio

Cambio

Cálculo
Cálculo vectorial
Ecuaciones diferenciales
Sistemas dinámicos
Teoría del caos
Análisis complejo

Matemáticas aplicadas

El término matemáticas aplicadas se refiere a aquellos métodos y herramientas matemáticas que pueden ser utilizados en el análisis o resolución de problemas pertenecientes al área de las ciencias básicas o aplicadas. Muchos métodos matemáticos han resultado efectivos en el estudio de problemas en física, química, biología, medicina, ciencias sociales, ingeniería, economía, finanzas, ecología entre otras.

Sin embargo, una posible diferencia es que en matemáticas aplicadas se procura el desarrollo de las matemáticas "hacia afuera", es decir su aplicación o transferencia hacia el resto de las áreas. Y en menor grado "hacia dentro" o sea, hacia el desarrollo de las matemáticas mismas. Este último sería el caso de las matemáticas puras o matemáticas elementales. Las matemáticas aplicadas se usan con frecuencia en distintas áreas tecnológicas para modelado, simulación y optimizacion de procesos o fenómenos, como el túnel de viento o el diseño de experimentos.

Estadística y ciencias de la decisión

La estadística trata de las técnicas para recolectar, organizar, presentar, analizar un conjunto de datos numéricos y a partir de ellos y de un marco teórico, hacer las inferencias de lugar. Es una herramienta fundamental para la investigación científica y empírica en los campos de la economía, genética, informática, ingeniería, sociología, psicología, medicina, contabilidad, etc.

Se consagra en forma directa al gran problema universal de como tomar las decisiones inteligentes y acertadas en condiciones de incertidumbre. Sirve como fuente de instrucción para los niveles introductorios de estadística descriptiva y, por tanto, los conceptos manejados y las técnicas empleadas han sido presentadas de la forma más simple, claramente posibles.

Matemática computacional

Física matemática
Dinámica de fluidos
Análisis numérico
Optimización
Teoría de la probabilidad
Estadística
Criptografía
Matemáticas financieras
Teoría de juegos
Biología matemática
Química matemática
Economía matemática
Teoría de control

miércoles, 9 de diciembre de 2015

Números Naturales

En matemáticas, un número natural (designado por ℕ) es cualquiera de los números que se usan para contar los elementos de un conjunto como también en operaciones elementales de cálculo.

Por definición convencional se dirá que cualquier miembro del siguiente conjunto, ℕ = {0, 1, 2, 3, 4, …} es un número natural, que en este caso empieza del cero y prosigue hasta el infinito. De dos números vecinos cualesquiera, el que se encuentra a la derecha se llama siguiente o sucesivo 1 . El conjunto de todos los números naturales iguales o menores que cierto número natural k se llama segmento de una sucesión natural y se denota |1,k|

Operaciones con los números naturales

Las operaciones matemáticas que se definen en el conjunto de los números naturales son la suma y la multiplicación.

La suma y la multiplicación de números naturales son operaciones conmutativas y asociativas, es decir:

El orden de los números no altera el resultado (propiedad conmutativa), a + b = b + a, y a × b = b × a.

Para sumar —o multiplicar— tres o más números naturales, no hace falta agrupar los números de una manera específica ya que (a + b) + c = a + (b + c) (propiedad asociativa).

Esto es lo que da sentido a expresiones como a + b + c.

Al construir la operación de multiplicación de números naturales, se puede observar claramente que la adición o suma y la multiplicación son operaciones compatibles, pues la multiplicación sería una adición de cantidades iguales y gracias a esta compatibilidad se puede desarrollar la propiedad distributiva, que se expresa de la forma:

a × (b + c) = (a × b) + (a × c)

Aparte, estas dos operaciones cumplen con las propiedades de:

Clausura de ambas operaciones para todos los números naturales a y b, ya que a + b y a × b son siempre números naturales. Existencia de elementos neutros para ambas operaciones, es decir, para cada número a, a + 0 = a y a × 1 = a.

No existencia de divisores de cero para la operación de multiplicación: si a y b son números naturales tales que a × b = 0, entonces a = 0 o b = 0.

Propiedades de los números naturales

Los números naturales están totalmente ordenados. La relación de orden ≤ se puede redefinir así: a ≤ b si y solo si existe otro número natural c que cumple a + c = b. Este orden es compatible con todas las operaciones aritméticas puesto que si a, b y c son números naturales y a ≤ b, entonces se cumple:

a + c ≤ b + c

a × c ≤ b × c

Una propiedad importante del conjunto de los números naturales es que es un conjunto bien ordenado

Para cualquier elemento a de A existe b en A tal que a < b

En los números naturales existe el algoritmo de la división. Dados dos números naturales a y b, si b ≠ 0, podemos encontrar otros dos números naturales q y r, denominados cociente y resto respectivamente, tales que:

a = (b × q) + r y r < b

Los números q y r están unívocamente determinados por a y b.

Otras propiedades más complejas de los números naturales, como la distribución de los números primos por ejemplo, son estudiadas por la teoría de números.

Relación de orden

La relación sucesor le da una estructura de orden.

Conceptos globales y de estructura

Algebraicamente, el conjunto ℕ = {0, 1, 2, ... n, ...} es un semigrupo aditivo asociativo con elemento neutro 0 y semigrupo multiplicativo asociativo con elemento neutro 1.

Topológicamente, ℕ tiene la topología cofinita.

El cardinal de ℕ es menor que el cardinal de ℝ.

Sustracción o resta con números naturales

Asúmase que ℕ = {0, 1, 2, 3, ...} y sea H = {(m, n) / m, n ∈ ℕ; m ≥ n}, sea g una aplicación de H en ℕ, tal que g(m, n) = m - n = d ↔ m = d + n, donde m, n están en H y d está en ℕ. A la aplicación g de H sobre ℕ se llama sustracción o resta en ℕ. La diferencia d = m - n, solo es posible en el caso que m ≥ n.

Proposiciones

Si m - n = p, entonces m - p = n

Si m - n = p, entonces (m + r) - (n + r) = p

Para cualquier m ∈ ℕ, m - m = 0;

como m - 0 = m, 0 hace el papel de elemento neutro por la derecha.

La resta no es conmutativa ni asociativa.

Si se da m - n = p, existe una infinidad de números naturales m´ y n´ tal que m´ - n´ = p;

de modo tal que en ℕ × ℕ la relación (m, n) ≈ (m´ ,n´) ↔ m + n´ = n + m´ define una relación de equivalencia, punto de partida para la construcción del ℤ de los números enteros.

Observación

Una operación en A definen algunos matemáticos como una aplicación de A × A en A. Si se acepta esto, la sustracción no es una operación en el conjunto de los naturales.

Si se define una aplicación en H, parte propia de A × A, en A tal aplicación se llama operación parcialmente definida en A. Admitido lo anterior, la sustracción es una operación parcialmente definida en en los números naturales.

Topologización de N

En el conjunto ℕ de los naturales cabe la topología discreta y la cofinita, también alguna topología de orden

Principio de permanencia

Es un teorema vinculado al sistema de los números naturales y sus ampliaciones aplicativas. Esta proposición expresa que las propiedades de cálculo usuales para los números naturales, también son legítimas para los números estructurados mediante operaciones inversas. Como ejemplo: según el principio de permanencia, las propiedades de la potenciación siguen válidas aun en el caso de números con exponentes fraccionarios.

(ab)5 = a5b5 ⇒ (ab)2/3 = a2/3 b2/3 entre otras leyes de la potenciación.

Números Enteros

Los números enteros son elementos de un conjunto de números que reúne a los positivos (1, 2, 3, ...), a los negativos opuestos de los anteriores: (..., −3, −2, −1) y al 0. Los enteros negativos, como −1 o −3 (se leen «menos uno», «menos tres», etc.), son menores que todos los enteros positivos (1, 2, ...) y que el cero. Para resaltar la diferencia entre positivos y negativos, a veces también se escribe un signo «más» delante de los positivos: +1, +5, etc. Cuando no se le escribe signo al número se asume que es positivo. Si se considera ℕ = { 1,2,3,...} 1 , entonces un entero natural es un entero positivo y el conjunto ℕ es parte propia de conjunto ℤ. El conjunto de todos los números enteros se representa por la letra ℤ = {..., −3, −2, −1, 0, +1, +2, +3, ...}, letra inicial del vocablo alemán Zahlen

Al igual que los números naturales, los números enteros pueden sumarse, restarse, multiplicarse y dividirse, de forma similar a los primeros. Sin embargo, en el caso de los enteros es necesario calcular también el signo del resultado.

Los números negativos son necesarios para realizar operaciones como:

3 − 5 = ?

Cuando el minuendo es más pequeño que el sustraendo, la resta no puede realizarse con números naturales. Sin embargo, hay situaciones en las que es útil el concepto de números negativos, como por ejemplo al hablar ganancias y pérdidas:

Números con signo

Los números naturales 1, 2, 3,... son los números ordinarios que se utilizan para contar. Al añadirles un signo menos («−») delante se obtienen los números negativos:
Un número entero negativo es un número natural como 1, 2, 3, etc. precedido de un signo menos, «−». Por ejemplo −1, −2, −3, etcétera. Se leen «menos 1», «menos 2», «menos 3»,...
Además, para distinguirlos mejor, a los números naturales se les añade un signo más («+») delante y se les llama números positivos.

Un número entero positivo es un número natural como 1, 2, 3,... precedido de un signo más. «+».

El cero no es positivo ni negativo, y puede escribirse con signo más o menos o sin signo indistintamente, ya que sumar o restar cero es igual a no hacer nada. Toda esta colección de números son los llamados «enteros».

Los números enteros son el conjunto de todos los números enteros con signo (positivos y negativos) junto con el 0. Se les representa por la letra Z, también escrita en «negrita de pizarra» como ℤ :

La recta numérica

Los números enteros negativos son más pequeños que todos los positivos y que el cero. Para entender como están ordenados se utiliza la recta numérica. Se ve con esta representación que los números negativos son más pequeños cuanto más a la izquierda, es decir, cuanto mayor es el número tras el signo. A este número se le llama el valor absoluto:

El valor absoluto de un número entero es el número natural que resulta de quitarle el signo. El valor absoluto de 0 es simplemente 0. Se representa por dos barras verticales «||».

El orden de los números enteros se define como:

Dados dos números enteros de signos distintos, +a y −b, el negativo es menor que el positivo: −b < +a.
Dados dos números enteros con el mismo signo, el menor de los dos números es:
El de menor valor absoluto, si el signo común es «+».
El de mayor valor absoluto, si el signo común es «−».
El cero, 0, es menor que todos los positivos y mayor que todos los negativos.

Operaciones con números enteros

Los números enteros pueden sumarse, restarse, multiplicarse y dividirse, igual que puede hacerse con los números naturales.

Suma

En esta figura, el valor absoluto y el signo de un número se representan por el tamaño del círculo y su color.
En la suma de dos números enteros, se determina por separado el signo y el valor absoluto del resultado.

Para sumar dos números enteros, se determina el signo y el valor absoluto del resultado del siguiente modo:

Si ambos sumandos tienen el mismo signo: ese es también el signo del resultado, y su valor absoluto es la suma de los valores absolutos de los sumandos.
Si ambos sumandos tienen distinto signo:
El signo del resultado es el signo del sumando con mayor valor absoluto.
El valor absoluto del resultado es la diferencia entre el mayor valor absoluto y el menor valor absoluto, de entre los dos sumandos.

La suma de números enteros se comporta de manera similar a la suma de números naturales:

La suma de números enteros cumple las siguientes propiedades:
Propiedad asociativa. Dados tres números enteros a, b y c, las sumas (a + b) + c y a + (b + c) son iguales.
Propiedad conmutativa. Dados dos números enteros a y b, las sumas a + b y b + a son iguales.
Elemento neutro. Todos los números enteros a quedan inalterados al sumarles 0: a + 0 = a.
Ejemplo.

Propiedad asociativa:

[ (−13) + (+25) ] + (+32) = (+12) + (+32) = (+44)

(−13) + [ (+25) + (+32) ] = (−13) + (+57) = (+44)

Propiedad conmutativa:

(+9) + (−17) = −8

(−17) + (+9) = −8

Además, la suma de números enteros posee una propiedad adicional que no tienen los números naturales:
Elemento opuesto o simétrico. Para cada número entero a, existe otro entero −a, que sumado al primero resulta en cero: a + (−a) = 0.

Resta

La resta de números enteros es muy sencilla, ya que ahora es un caso particular de la suma.
La resta de dos números enteros (minuendo menos sustraendo) se realiza sumando el minuendo más el sustraendo cambiado de signo.

Multiplicación

La multiplicación de números enteros, al igual que la suma, requiere determinar por separado el signo y valor absoluto del resultado.

En la multiplicación (o división) de dos números enteros se determinan el valor absoluto y el signo del resultado de la siguiente manera:

El valor absoluto es el producto de los valores absolutos de los factores.
El signo es «+» si los signos de los factores son iguales, y «−» si son distintos.
Para recordar el signo del resultado, también se utiliza la regla de los signos:

Regla de los signos:

(+) × (+)=(+) Más por más igual a más.

(+) × (−)=(−) Más por menos igual a menos.

(−) × (+)=(−) Menos por más igual a menos.

(−) × (−)=(+) Menos por menos igual a más.

La multiplicación de números enteros tiene también propiedades similares a la de números naturales:

La multiplicación de números enteros cumple las siguientes propiedades:
Propiedad asociativa. Dados tres números enteros a, b y c, los productos (a × b) × c y a × (b × c) son iguales.
Propiedad conmutativa. Dados dos números enteros a y b, los productos a × b y b × a son iguales.
Elemento neutro. Todos los números enteros a quedan inalterados al multiplicarlos por 1: a × 1 = a.
Ejemplo.

Propiedad asociativa:

[ (−7) × (+4) ] × (+5) = (−28) × (+5) = −140

(−7) × [ (+4) × (+5) ] = (−7) × (+20) = −140

Propiedad conmutativa:

(−6) × (+9) = −54

(+9) × (−6) = −54

La suma y multiplicación de números enteros están relacionadas, al igual que los números naturales, por la propiedad distributiva:
Propiedad distributiva.
Dados tres números enteros a, b y c, el producto a × (b + c) y la suma de productos (a × b) + (a × c) son idénticos.

Propiedades algebraicas

El conjunto de los números enteros, considerado junto con sus operaciones de adición y multiplicación, tiene una estructura que en matemáticas se denomina anillo; y posee una relación de orden. Los números enteros pueden además construirse a partir de los números naturales mediante clases de equivalencia.

El conjunto ℤ de los números enteros es coordinable con el conjunto ℕ de los números naturales. O sea que se puede establecer un correspondencia biunívoca entre los dos conjuntos.

Números Racionales

Número racional es todo número que puede representarse como el cociente de dos números enteros o, más precisamente, un entero y un natural positivo; es decir, una fracción común a/b con numerador a y denominador b distinto de cero. El término «racional» alude a una fracción o parte de un todo. El conjunto de los números racionales se denota por Q que deriva de «cociente» (Quotient en varios idiomas europeos). Este conjunto de números incluye a los números enteros, y es un subconjunto de los números reales.

La escritura decimal de un número racional es, o bien un número decimal finito, o bien periódico. Esto es cierto no solo para números escritos en base 10 (sistema decimal), también lo es en base binaria, hexadecimal o cualquier otra base entera. Recíprocamente, todo número que admite una expansión finita o periódica (en cualquier base entera), es un número racional.

Un número real que no es racional, se llama número irracional; la expresión decimal de los números irracionales, a diferencia de los racionales, es infinita aperiódica.

En sentido estricto, número racional es el conjunto de todas las fracciones equivalentes a una dada; de todas ellas, se toma como representante canónico de dicho número racional a la fracción irreducible. Las fracciones equivalentes entre sí –número racional– son una clase de equivalencia, resultado de la aplicación de una relación de equivalencia sobre Z.

Construcción formal

Véanse también: Dominio de integridad y Cuerpo de cocientes.
El conjunto de los números racionales puede construirse a partir del conjunto de fracciones cuyo numerador y cuyo denominador son números enteros. El conjunto de los números racionales no es directamente identificable con el conjunto de fracciones, porque a veces un número racional puede representarse por más de una fracción, por ejemplo:

2,5 = 25/10 = 10/4 = 5/2

Para poder definir los números racionales debe definirse cuando dos fracciones diferentes son equivalentes y por tanto representan el mismo número racional. Formalmente cada número racional puede representarse como la clase de equivalencia de un par ordenado de enteros, con la siguiente relación de equivalencia:

Demostración

Diremos que (a,b) R (c,d) s.s.s. ad = bc; en este caso R es una relación de equivalencia en el conjunto H. De tal modo que la relación de equivalencia R determina en H una partición y a cada elemento del conjunto cociente H/R se llama número racional; en este contexto, un número racional es una clase de equivalencia.

Representante canónico se llama al par (a,b)si el m.c.d (a,b)= 1. cualquier otro par se usa en el caso de operaciones. Al sumar 1/2 con 2/3 se les reemplaza respectivamente por 3/6 y 4/6. 3

Aritmética de los números racionales

Propiedades algebraicas

Suma

Se define la suma (a/b) + (c/d) = (ad+bc) / (bd)
que es:

Asociativa. (a/b + c/d) + (e/f) = a/b + c/d + e/f
Conmutativa. a/b+ c/d = c/d + a/b

Existe el elemento neutro: 0/H tal que a/b + 0/H = a/b para cualquier a/b . Se nombra cero y se denota 0.
Elemento opuesto. Para cualquier número racional a/b existe -a/b , llamado elemento opuesto, tal que a/b + (-a/b)= 0

Diferencia. La ecuación a/b + x = c/d tiene como solución x = c/d +(-a/b)

La diferencia (c/d) - (a/b) = (c/d) - (a/b).

La operación que a todo par de números racionales, le hace corresponder su diferencia se llama resta y se la considera operación inversa de la suma.

Multiplicación

Se define la multiplicación a/b + c/d = (ad+bc) / bd
Asociativa

Conmutativa

Existe elemento neutro representado por p/p= 1 , distinto de 0, tal que a/b x 1 = a/b
Inverso multiplicativo. Para todo número racional q, distinto de 0, existe q-1,llamado inverso multiplicativo tal que p(-1) = 1
Se define el cociente de r entre s distinto de 0, al producto R x S(-1).
En otra notación, (a/b)/(c/d)= a/b x d/c .

A la operación que a todo par de racionales, divisor distinto de cero, le hace corresponder su cociente, se llama división, que no es una operación totalmente definida; pero se asume que es una operación inversa de la multiplcación que resuelve la ecuación px = s , p no es 0.

A las operaciones de suma, resta, multiplicación y división se llaman operaciones racionales

Relaciones de equivalencia y orden

Se define la equivalencia a/b = c/d cuando ad = bc
Los racionales positivos son todos los a/b tales que ab > 0
Los racionales negativos son todos los a/b tales que ab < 0
El orden se define así: Si b>0 y d>0 entonces a/b>c/d cuando ad - bc > 0

Equivalencias notables

Todo número entero p \, se puede escribir como fracción p/1

ca/cb= a/b con c no es 0 y b no es 0

a/c+ b/c= (a+b)/c

-a/b=a/-b=-(a/b)

0/a=0 con a no es 0

a/a=1 con a no es 0 .

Propiedades

El conjunto \Q, con las propiedades de adición y multiplicación definidas más arriba, conforma un cuerpo conmutativo: el cuerpo de cocientes de los enteros \Z.
Los racionales son el menor cuerpo con característica nula.
La clausura algebraica de \Q, es el conjunto de los números algebraicos.
El conjunto de los números racionales es numerable, es decir que existe una biyección entre \N y \Q (tienen la misma cantidad de elementos). El conjunto de los número reales no es numerable (la parte no-denombrable de los reales, la constituyen los números irracionales).
Propiedad arquimediana: el conjunto \Q es denso en \R por construcción misma de \R; es decir, para cualquier pareja de números reales existe otro número racional situado entre ellos.
Los racionales forman un dominio de factorización única ya que todo racional diferente de cero puede descomponerse en la forma: son números enteros primos, (siendo algunos de ellos negativos si q no es entero) y u\in\{1,-1\}.

Escritura decimal

Representación racional de los números decimales
Todo número real admite una representación decimal ilimitada, esta representación es única si se excluyen secuencias infinitas de 9 (como por ejemplo el 0,9 periódico). Todo número decimal finito o periódico puede expresarse como número racional de la siguiente manera:

Decimales exactos o finitos: se escribe en el numerador la expresión decimal sin la coma (como un número entero), y en el denominador un uno seguido de tantos ceros como cifras decimales.

Decimales periódicos puros: la fracción correspondiente tiene como numerador la diferencia entre el número escrito sin la coma, y la parte anterior al periodo; y como denominador, tantos "9" como cifras tiene el periodo.

Decimales periódicos mixtos: tendrá como numerador la diferencia entre a y b, donde a es el número escrito sin la coma, y b es el número sin la parte decimal periódica, escritos ambos como números enteros. El denominador tendrá tantos "9" como cifras tiene el periodo y otros tantos "0" como cifras tenga el anteperíodo.

Desarrollo decimal de los números racionales
El valor decimal de un número racional, es simplemente el resultado de dividir el numerador entre el denominador. Los números racionales se caracterizan por tener una escritura decimal que solo puede ser de tres tipos:

Exacta: la parte decimal tiene un número finito de cifras. Al no ser significativos, los ceros a la derecha del separador decimal pueden omitirse, lo que da por resultado una expresión «finita» o «terminal».
Periódica pura: toda la parte decimal se repite indefinidamente.
Periódica mixta: no toda la parte decimal se repite.

Nota: lo mismo se aplica al desarrollo decimal de un número racional en bases distintas de diez.

Número racional en otras bases

En un sistema de numeración posicional de base racional, las fracciones irreducibles cuyo denominador contiene factores primos distintos de aquellos que factorizan la base, no tienen representación finita.

Propiedades topológicas del conjunto de los números racionales
Forman un subconjunto denso de los números reales: todo número real tiene racionales arbitrariamente cerca.

Poseen una expansión finita como fracción continua regular.
Con la topología del orden, forman un anillo topológico, o de grupo parcialmente ordenado; presentan una topología inducida; también forman un espacio métrico con la métrica d(x,y) = |x -y|.
Los racionales son un ejemplo de espacio que no es localmente compacto.
Se caracterizan topológicamente por ser el único espacio metrizable numerable sin puntos aislados (también es totalmente discontinuo). Los números racionales no forman un espacio métrico completo.
Sea el conjunto H de los números racionales en el intervalo cerrado [0, 1], entonces H no tiene puntos aislados, todo punto de H es punto de acumulación, los restantes punto de ℝ son exteriores a H. Entre los puntos de acumulación de H algunos están en él y otros no. Cada punto de H es un punto frontera, pues su vecindad contiene puntos de H y de su complemento. H no tiene puntos interiores, ninguna vecindad de un elemento de H está contenida en H; no es un conjunto conexo ya que todo [m,n] con elementos m,n de H no es parte de H.9

Propiedades algebraicas

ℚ con la adición forma un grupo conmutativo
El conjunto Q^* de los números racionales no nulos, con la multiplicación, forma un grupo multiplicativo abeliano
<ℚ, +, *> es un cuerpo conmutativo
En ℚ hay dos operaciones asociativas y conmutativas: adición y multiplicación y dos operaciones no conmutativas ni asociativas: la resta y la división, con elementos identidades por la derecha.
En ℚ, siempre es posible resolver una ecuación ax = b, donde a no es 0
Históricamente, los números fraccionarios propios antecedieron a los negativos y a los imaginarios 10
Sea H = {0, 1, -1} con la adición y multiplicación usuales posee la estructura de cuerpo.
Sea el conjunto P = {2n / n es un entero}, <P, * > constituye un grupo múltiplicativo, donde * es el producto usual de números racionales.
El conjunto de los números racionales de la forma p/1 donde p es un número entero, se denomina el conjunto de los números racionales enteros.

Números Reales

En matemáticas,el conjunto de los números reales (denotado por ℝ) incluye tanto a los números racionales (positivos, negativos y el cero) como a los números irracionales; y en otro enfoque, trascendentes y algebraicos. Los irracionales y los trascendentes (1970) no se pueden expresar mediante una fracción de dos enteros con denominador no nulo; tienen infinitas cifras decimales aperiódicas, tales como: √5, π, el número real log2, cuya trascendencia fue enunciada por Euler en el siglo XVIII.

Los números reales pueden ser descritos y construidos de varias formas, algunas simples aunque carentes del rigor necesario para los propósitos formales de matemáticas y otras más complejas pero con el rigor necesario para el trabajo matemático formal.

Durante los siglos XVI y XVII el cálculo avanzó mucho aunque carecía de una base rigurosa, puesto que en el momento prescindían del rigor y fundamento lógico, tan exigente en los enfoques teóricos de la actualidad, y se usaban expresiones como «pequeño», «límite», «se acerca» sin una definición precisa. Esto llevó a una serie de paradojas y problemas lógicos que hicieron evidente la necesidad de crear una base rigurosa para la matemática, la cual consistió de definiciones formales y rigurosas (aunque ciertamente técnicas) del concepto de número real. En una sección posterior se describirán dos de las definiciones precisas más usuales actualmente: clases de equivalencia de sucesiones de Cauchy de números racionales y cortaduras de Dedekind.

Notación

Los números reales se expresan con decimales que tienen una secuencia infinita de dígitos a la derecha de la coma decimal, como por ejemplo 324,8232. Frecuentemente también se subrepresentan con tres puntos consecutivos al final (324,823211247…), lo que significaría que aún faltan más dígitos decimales, pero que se consideran sin importancia.

Las medidas en las ciencias físicas son siempre una aproximación a un número real. No sólo es más conciso escribirlos con forma de fracción decimal (es decir, números racionales que pueden ser escritos como proporciones, con un denominador exacto) sino que, en cualquier caso, cunde íntegramente el concepto y significado del número real. En el análisis matemático los números reales son objeto principal de estudio. Puede decirse que los números reales son la herramienta de trabajo de las matemáticas de la continuidad, como el cálculo y el análisis matemático, mientras que los números enteros lo son de las matemáticas discretas, en las que está ausente la continuidad.

Se dice que un número real es recursivo si sus dígitos se pueden expresar por un algoritmo recursivo. Un número no-recursivo es aquél que es imposible de especificar explícitamente. Aun así, la escuela rusa de constructivismo supone que todos los números reales son recursivos.

Los ordenadores sólo pueden aproximarse a los números reales por números racionales; de todas maneras, algunos programas de ordenador pueden tratar un número real de manera exacta usando su definición algebraica (por ejemplo, "

\sqrt{2}

") en vez de su respectiva aproximación decimal.

Los matemáticos usan el símbolo

\mathbb R

(o, de otra forma,

\mathbf{R}

, la letra "R" en negrita) para representar el conjunto de todos los números reales.

La notación matemática

\mathbb R^n

se refiere a un espacio de

n

dimensiones de los números reales; por ejemplo, un valor

\mathbb R^3

consiste de tres números reales y determina un lugar en un espacio de tres dimensiones.

En matemática, la palabra "real" se usa como adjetivo, con el significado de que el campo subyacente es el campo de los números reales. Por ejemplo, matriz real,función real, y Álgebra de Lie real.

Tipos de números reales

Racionales e irracionales

Un número real puede ser un número racional o un número irracional. Los números racionales son aquellos que pueden expresarse como el cociente de dos números enteros, tal como 3/4, -21/3, 5, 0, 1/2, mientras que los irracionales son todos los demás. Los números racionales también pueden describirse como aquellos cuya representación decimal es eventualmente periódica, mientras que los irracionales tienen una expansión decimal aperiódica:

Ejemplos: 1/4 = 0,250000... Es un número racional puesto que es periódico a partir del tercer número decimal.; 5/7 = 0,7142857142857142857.... Es racional y tiene un período de longitud 6 (repite 714285).; $\frac{\sqrt[3]{7}+1}{2}=1\text{,}456465591386194\ldots$ es irracional y su expansión decimal es aperiódica.

El conjunto de los números racionales se designa mediante

\mathbb{Q}

Algebraicos y transcendentes

Otra forma de clasificar los números reales es en algebraicos y trascendentes. Un número es algebraico si existe un polinomio de coeficientes racionales que lo tiene por raíz y es trascendente en caso contrario. Obviamente, todos los números racionales son algebraicos: si

\frac{p}{q}

es un número racional, con p entero y q natural, entonces es raíz de la ecuación qx=p. Sin embargo, no todos los números algebraicos son racionales.

Ejemplos: El número $\frac{\sqrt[3]{7}+1}{2}$ es algebraico puesto que es una raíz del polinomio $4x^3-6x^2+3x-4$; Un ejemplo de número trascendente es $\ln3=1\text{,}09861228866811\ldots$

El conjunto de los números algebraicos se designa mediante

\mathbb{A}

Computables e irreductibles

Un número real se dice computable si tiene una complejidad de Kolmogórov finita, es decir, si puede escribirse un programa informático de extensión finita que genere los dígitos de dicho número. Si un número real no es computable se dice irreductible. Una definición de número irreductible es:

El conjunto de números reales computables se designa por

\R_{comp}

. Obviamente los racionales y los algebraicos son números computables. De hecho se tiene la siguiente inclusión:

$\mathbb{Q} \subset \mathbb{A} \subset \mathbb{R}_{comp}$

Además se tiene que todos estos conjuntos son numerables:

$\text{card}|\mathbb{Q}| = \text{card}|\mathbb{A}| = \text{card}|\mathbb{R}_{comp}| = \aleph_0$

Esto implica que el conjunto de todos los números computables es un conjunto de medida nula.

Construcciones de los números reales

Caracterización axiomática

Fue propuesto por el matemático alemán David Hilbert. En textos actuales de cálculo y análisis matemático aparecen enunciados equivalentes al de Hilbert.

Artículo principal: Axiomas de los números reales

Existen diferentes formas de construir el conjunto de los números reales a partir de axiomas, siendo la caracterización más común, el conocido como método directoque introduce el sistema (ℝ, +,., ≤), donde los elementos de ℝ se llaman números reales, + y. son dos operaciones en ℝ, ≤ es una relación de orden en ℝ. Se presenta una variante axiomática, mediante las siguientes tres propiedades:

Un conjunto $(K,+,\cdot, \leq)$ es el conjunto de los números reales si satisface las siguientes tres condiciones:

$(K,+,\cdot)$ es un campo.

$(K,\leq)$ es un conjunto totalmente ordenado y el orden es compatible con las operaciones del campo:
Si $a\le b$ entonces $a+c\le b+c$ ;
Si $a\le b$ y $0\le c$ entonces $ac \le bc$ .

El conjunto K es completo: satisface el axioma del supremo:
Todo conjunto no vacío y acotado superiormente tiene un supremo.

El axioma del supremo es una variante del Principio de Weirstrass" que dice que toda sucesión de números reales acotada superiormente tiene supremo

Las primeras dos condiciones definen el concepto de campo ordenado, mientras que la tercera propiedad es de naturaleza topológica y es la que diferencia al conjunto de los números reales de todos los demás campos ordenados. Hay que hacer notar que, en principio pueden existir diferentes conjuntos que satisfagan las mismas condiciones y que podrían ser diferentes al conjunto de los números reales, pero un teorema establece que si eso sucediera, ambas estructuras serían esencialmente la misma.

Cualquier campo ordenado que cumpla las tres propiedades mencionadas es isomorfo al conjunto de los números reales.

En vista de lo anterior podemos hablar de el conjunto de los números reales (y no de un conjunto de números reales) y estableciendo su unicidad se puede usar el símbolo ℝ para representarlo.

Al enunciar la tercera propiedad en ocasiones se especifica que ℝ es completo en el sentido de Dedekind, pues existen otros axiomas que se pueden usar y que, asumiendo las primeras dos condiciones, todos son lógicamente equivalentes. Algunos de estos son:

(Cauchy) El conjunto K cumple que cualquier sucesión de Cauchy es convergente.
(Bolzano-Weierstrass) El conjunto K cumple que cualquier sucesión acotada tiene una subsucesión convergente.
Cualquier sucesión decreciente de intervalos cerrados $I_1\supseteq I_2\supseteq I_3\supseteq \cdots$ tiene intersección no vacía.

Cada una de las primeras dos propiedades mencionadas al inicio de la sección corresponden a su vez a otra serie de axiomas, de modo que si se hace un desglose, puede caracterizarse el conjunto de los números reales como un conjunto que satisfaga la siguiente lista de axiomas.

Si $x,y\in\mathbb{R}$ , entonces $x+y\in\mathbb{R}$ (Cerradura en la suma)
Si $x,y\in\mathbb{R}$ , entonces $x+y=y+x\,$ (Conmutatividad en la suma)
Si $x,y,z\in\mathbb{R}$ , entonces $(x+y)+z=x+(y+z)\,$ (Asociatividad en la suma)
Existe $0\in\mathbb{R}$ de manera que $x+0=x\,$ para todo $x\in\mathbb{R}$ (Neutro aditivo)
Para cada $x\in\mathbb{R}$ existe un elemento $-x\in\mathbb{R}$ tal que $-x+x=0\,$ (Inverso aditivo)
Si $x,y\in\mathbb{R}$ , entonces $xy\in\mathbb{R}$ (Cerradura en la multiplicación)
Si $x,y\in\mathbb{R}$ , entonces $xy=yx\,$ (Conmutatividad en la multiplicación)
Si $x,y,z\in\mathbb{R}$ , entonces $(xy)z=x(yz)\,$ (Asociatividad en la multiplicación)
Existe $1\in\mathbb{R}$ de manera que $x\cdot{1}=1\cdot{x}=x\,$ para cualquier $x\in\mathbb{R}$ (Neutro multiplicativo)
Para cada $x\neq 0,x\in\mathbb{R}$ existe un elemento $x^{-1}\in\mathbb{R}$ tal que $x^{-1}x=1\,$ (Inverso multiplicativo)
Si $x,y,z\in\mathbb{R}$ , entonces $x(y+z)=xy+xz\,$ (Distributividad de la multiplicación en la suma)
Si $x,y\in\mathbb{R}$ , entonces se cumple sólo una de estas: (Tricotomía)
- $x<y\,$
- $y<x\,$
- $x=y\,$
Si $x,y,z\in\mathbb{R}$ , $x<y\,$ y $y<z\,$ entonces $x<z\,$ (Transitividad)
Si $x,y,z\in\mathbb{R}$ y $x<y\,$ , entonces $x+z<y+z\,$ (Monotonía en la suma)
Si $x,y,z\in\mathbb{R}$ , $x<y\,$ y $0<z \,$ , entonces $xz<yz\,$ (Monotonía en la multiplicación)
Si $E \subset \mathbb{R}$ es un conjunto no vacío acotado superiormente en $\mathbb{R}$ , entonces $E \,$ tiene supremo en $\mathbb{R}$ (Axioma del supremo)

Los axiomas del 1 al 15 corresponden a la estructura más general de cuerpo ordenado. El último axioma es el que distingue

\mathbb{R}

de otros cuerpos ordenados como

\mathbb{Q}

. Debe señalarse que los axiomas 1 a 15 no constituyen una teoría categórica ya que puede demostrarse que admiten al menos un modelo no estándar diferente de los números reales, que es precisamente el modelo en el que se basa la construcción de los números hiperreales

Construcción por números decimales

Consideramos los números decimales como los conocemos intuitivamente. Sabemos que

\pi=3,1415926535897932384626\dots

, es decir, el número π se expresa como el número entero 3 y una secuencia infinita de dígitos 1, 4, 1, 5, 9, 2, etc.

Un número decimal se expresa entonces como

x.d_1d_2d_3d_4\dots

donde

x

es un número entero y cada

d_i

es un elemento del conjunto

\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}

. Además, consideramos que no existen las colas de 9.

Al conjunto de todos los números decimales donde

x

es un número entero positivo se le denota por

\mathbb{R}^+

y se le llama el conjunto de los números reales positivos.

Al conjunto de todos los números decimales donde

x

es un número entero negativo se le denota por

\mathbb{R}^-

y se le llama el conjunto de los números reales negativos.

Al número decimal

0,00000\dots

se le llama cero.

Al conjunto

\mathbb{R}^+\cup\mathbb{R}^-\cup\{0,00000\dots\}

se le denota por

\mathbb{R}

y se le llama conjunto de números reales.

Se define la relación de orden total de los números decimales como

$0>x\,$ para todo $x\in\mathbb{R}^-$
$x>y\,$ siempre que $x\in\mathbb{R}^+$ y $y\in\mathbb{R}^-$
$x>0\,$ para todo $x\in\mathbb{R}^+$
Dados dos números reales cualesquiera $x=a.a_1a_2a_3a_4\dots$ y $y=b.b_1b_2b_3b_4\dots$ , $x>y\,$ en cualquiera de los casos siguientes:
- $a>b\,$
- $a=b\,$ y además existe $n\in\mathbb{N}$ tal que $a_i=b_i\,$ para todo $1\leq i<n$ y $a_n > b_n\,$

Construcción por cortaduras de Dedekind

Hay valores que no se pueden expresar como números racionales, tal es el caso de

\sqrt 2

. Sin embargo es claro que se puede aproximar

\sqrt 2

con números racionales tanto como se desee. Podemos entonces partir al conjunto de los números racionales en dos subconjuntos

A

B

de manera que en el conjunto

A

se encuentran todos los números racionales

x < \sqrt 2

y en

B

todos los números racionales tales que

x > \sqrt 2

Una cortadura de dedekind es un par ordenado

(A,B)

que hace precisamente esto. Conceptualmente, la cortadura es el "espacio" que hay entre

A

B

De esta manera es posible definir a

\sqrt 2

como

(A,B)

tal que

A = \{x\in\mathbb{Q}:x^2<2\}

B=\{x\in\mathbb{Q}:x^2>2\}

Es posible demostrar que

B

queda unívocamente definido por

A

, de esta manera la cortadura

(A,B)

se reduce simplemente a

A

También es demostrable que el conjunto de todas las cortaduras cumple con los axiomas de los números reales, de esta manera

\mathbb{R}

es el conjunto de todas las cortaduras de Dedekind. Esta es la primera construcción formal de los números reales bajo la teoría de conjuntos.

Construcción por sucesiones de Cauchy

Las sucesiones de Cauchy retoman la idea de aproximar con números racionales un número real. Tómese por ejemplo, la igualdad.

\sum_{n=0}^{\infty } \cfrac{4(-1)^n}{2n+1} = \frac{4}{1} - \frac{4}{3} + \frac{4}{5} - \frac{4}{7} + \frac{4}{9} - \dots = \pi

Es claro que esta sumatoria opera sólo con los números racionales de la forma:

\cfrac{4(-1)^n}{2\,n+1}

sin embargo el resultado final es el número irracional

\pi\,

. Cada vez que se añade un término, la expresión se aproxima más y más a

\pi\,

Las sucesiones de Cauchy generalizan este concepto para definir a los números reales. Primero se define que una sucesión de números racionales es una función se denota simplemente por

x_i

Una sucesión de Cauchy es una sucesión de números racionales donde sus elementos cada vez son menos diferentes. Más formalmente, se define una sucesión de Cauchy como una sucesión de números racionales tales que para todo

\epsilon\in\mathbb Q^+

existe un

n_0\in\mathbb N

tal que para todo

m,n\geq{n_0}

se cumple

|x_m-x_n|<\epsilon\,

De esta manera es posible definir al número real

\pi

como la sucesión de números racionales:

x_i = \sum_{n=0}^i \cfrac{4(-1)^n}{2n+1}

Definición de los números reales

Sea Γ el conjunto de las sucesiones de Cauchy en Q. Sea la relación ρ siguiente, definida entre las sucesiones de Cauchy de Q, (x_n) y (y_n):

(x_n)ρ(y_n) s. s.s. lim (x_n-y_n) = 0 cuando n → ∞

Esta relación ρ es una relación de equivalencia en el conjunto de sucesiones de Cauchy con elementos del conjunto Q de los números racionales.

Llamamos conjunto de los números reales al conjunto cociente R = Γ/ρ.
En seguida se define sobre R una ley de grupo aditivo, una realación de orden y una topología. Se demuestra que Q ( conjunto de los racionales) es isomorfo a una parte de R.

Propiedad Arquimediana (Axioma de Arquímedes)

Sean a > 0 y b números reales cualesquiera, existe un número natural n tal que na > b; esto expresa a su vez que la sucesión b/n tiende a cero.

Operaciones con números reales

Con números reales pueden realizarse todo tipo de operaciones básicas con diversas excepciones importantes:

No existen raíces de orden par (cuadradas, cuartas, sextas, etc.) de números negativos en números reales, (aunque sí existen en el conjunto de los números complejos donde dichas operaciones sí están definidas).
La división entre cero no está definida (pues cero no posee inverso multiplicativo, es decir, no existe número x tal que 0·x=1).
No se puede hallar el logaritmo de un número real negativo, cualquiera sea la base de logaritmos, un número positivo distinto de 1.

Estas restricciones tienen repercusiones en otras áreas de las matemáticas como el cálculo: existen asíntotas verticales en los lugares donde el denominador de una función racional tiende a cero, es decir, en aquellos valores de la variable en los que se presentaría una división entre cero, o no existe gráfica real en aquellos valores de la variable en que resulten números negativos para raíces de orden par, por mencionar un ejemplo de construcción de gráficas en geometría analítica.